(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
active(fact(X)) → mark(if(zero(X), s(0), prod(X, fact(p(X)))))
active(add(0, X)) → mark(X)
active(add(s(X), Y)) → mark(s(add(X, Y)))
active(prod(0, X)) → mark(0)
active(prod(s(X), Y)) → mark(add(Y, prod(X, Y)))
active(if(true, X, Y)) → mark(X)
active(if(false, X, Y)) → mark(Y)
active(zero(0)) → mark(true)
active(zero(s(X))) → mark(false)
active(p(s(X))) → mark(X)
active(fact(X)) → fact(active(X))
active(if(X1, X2, X3)) → if(active(X1), X2, X3)
active(zero(X)) → zero(active(X))
active(s(X)) → s(active(X))
active(prod(X1, X2)) → prod(active(X1), X2)
active(prod(X1, X2)) → prod(X1, active(X2))
active(p(X)) → p(active(X))
active(add(X1, X2)) → add(active(X1), X2)
active(add(X1, X2)) → add(X1, active(X2))
fact(mark(X)) → mark(fact(X))
if(mark(X1), X2, X3) → mark(if(X1, X2, X3))
zero(mark(X)) → mark(zero(X))
s(mark(X)) → mark(s(X))
prod(mark(X1), X2) → mark(prod(X1, X2))
prod(X1, mark(X2)) → mark(prod(X1, X2))
p(mark(X)) → mark(p(X))
add(mark(X1), X2) → mark(add(X1, X2))
add(X1, mark(X2)) → mark(add(X1, X2))
proper(fact(X)) → fact(proper(X))
proper(if(X1, X2, X3)) → if(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(zero(X)) → zero(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(0) → ok(0)
proper(prod(X1, X2)) → prod(proper(X1), proper(X2))
proper(p(X)) → p(proper(X))
proper(add(X1, X2)) → add(proper(X1), proper(X2))
proper(true) → ok(true)
proper(false) → ok(false)
fact(ok(X)) → ok(fact(X))
if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(if(X1, X2, X3))
zero(ok(X)) → ok(zero(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
prod(ok(X1), ok(X2)) → ok(prod(X1, X2))
p(ok(X)) → ok(p(X))
add(ok(X1), ok(X2)) → ok(add(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Rewrite Strategy: FULL
(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n1):
The rewrite sequence
fact(mark(X)) →+ mark(fact(X))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0].
The pumping substitution is [X / mark(X)].
The result substitution is [ ].
(2) BOUNDS(n^1, INF)
(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
(4) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
active(fact(X)) → mark(if(zero(X), s(0'), prod(X, fact(p(X)))))
active(add(0', X)) → mark(X)
active(add(s(X), Y)) → mark(s(add(X, Y)))
active(prod(0', X)) → mark(0')
active(prod(s(X), Y)) → mark(add(Y, prod(X, Y)))
active(if(true, X, Y)) → mark(X)
active(if(false, X, Y)) → mark(Y)
active(zero(0')) → mark(true)
active(zero(s(X))) → mark(false)
active(p(s(X))) → mark(X)
active(fact(X)) → fact(active(X))
active(if(X1, X2, X3)) → if(active(X1), X2, X3)
active(zero(X)) → zero(active(X))
active(s(X)) → s(active(X))
active(prod(X1, X2)) → prod(active(X1), X2)
active(prod(X1, X2)) → prod(X1, active(X2))
active(p(X)) → p(active(X))
active(add(X1, X2)) → add(active(X1), X2)
active(add(X1, X2)) → add(X1, active(X2))
fact(mark(X)) → mark(fact(X))
if(mark(X1), X2, X3) → mark(if(X1, X2, X3))
zero(mark(X)) → mark(zero(X))
s(mark(X)) → mark(s(X))
prod(mark(X1), X2) → mark(prod(X1, X2))
prod(X1, mark(X2)) → mark(prod(X1, X2))
p(mark(X)) → mark(p(X))
add(mark(X1), X2) → mark(add(X1, X2))
add(X1, mark(X2)) → mark(add(X1, X2))
proper(fact(X)) → fact(proper(X))
proper(if(X1, X2, X3)) → if(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(zero(X)) → zero(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(0') → ok(0')
proper(prod(X1, X2)) → prod(proper(X1), proper(X2))
proper(p(X)) → p(proper(X))
proper(add(X1, X2)) → add(proper(X1), proper(X2))
proper(true) → ok(true)
proper(false) → ok(false)
fact(ok(X)) → ok(fact(X))
if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(if(X1, X2, X3))
zero(ok(X)) → ok(zero(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
prod(ok(X1), ok(X2)) → ok(prod(X1, X2))
p(ok(X)) → ok(p(X))
add(ok(X1), ok(X2)) → ok(add(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
S is empty.
Rewrite Strategy: FULL
(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.
(6) Obligation:
TRS:
Rules:
active(fact(X)) → mark(if(zero(X), s(0'), prod(X, fact(p(X)))))
active(add(0', X)) → mark(X)
active(add(s(X), Y)) → mark(s(add(X, Y)))
active(prod(0', X)) → mark(0')
active(prod(s(X), Y)) → mark(add(Y, prod(X, Y)))
active(if(true, X, Y)) → mark(X)
active(if(false, X, Y)) → mark(Y)
active(zero(0')) → mark(true)
active(zero(s(X))) → mark(false)
active(p(s(X))) → mark(X)
active(fact(X)) → fact(active(X))
active(if(X1, X2, X3)) → if(active(X1), X2, X3)
active(zero(X)) → zero(active(X))
active(s(X)) → s(active(X))
active(prod(X1, X2)) → prod(active(X1), X2)
active(prod(X1, X2)) → prod(X1, active(X2))
active(p(X)) → p(active(X))
active(add(X1, X2)) → add(active(X1), X2)
active(add(X1, X2)) → add(X1, active(X2))
fact(mark(X)) → mark(fact(X))
if(mark(X1), X2, X3) → mark(if(X1, X2, X3))
zero(mark(X)) → mark(zero(X))
s(mark(X)) → mark(s(X))
prod(mark(X1), X2) → mark(prod(X1, X2))
prod(X1, mark(X2)) → mark(prod(X1, X2))
p(mark(X)) → mark(p(X))
add(mark(X1), X2) → mark(add(X1, X2))
add(X1, mark(X2)) → mark(add(X1, X2))
proper(fact(X)) → fact(proper(X))
proper(if(X1, X2, X3)) → if(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(zero(X)) → zero(proper(X))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(0') → ok(0')
proper(prod(X1, X2)) → prod(proper(X1), proper(X2))
proper(p(X)) → p(proper(X))
proper(add(X1, X2)) → add(proper(X1), proper(X2))
proper(true) → ok(true)
proper(false) → ok(false)
fact(ok(X)) → ok(fact(X))
if(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(if(X1, X2, X3))
zero(ok(X)) → ok(zero(X))
s(ok(X)) → ok(s(X))
prod(ok(X1), ok(X2)) → ok(prod(X1, X2))
p(ok(X)) → ok(p(X))
add(ok(X1), ok(X2)) → ok(add(X1, X2))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
fact :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
mark :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
if :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
zero :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
s :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
0' :: 0':mark:true:false:ok
prod :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
p :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
add :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
true :: 0':mark:true:false:ok
false :: 0':mark:true:false:ok
proper :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
ok :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
top :: 0':mark:true:false:ok → top
hole_0':mark:true:false:ok1_0 :: 0':mark:true:false:ok
hole_top2_0 :: top
gen_0':mark:true:false:ok3_0 :: Nat → 0':mark:true:false:ok
(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
active,
if,
zero,
s,
prod,
fact,
p,
add,
proper,
topThey will be analysed ascendingly in the following order:
if < active
zero < active
s < active
prod < active
fact < active
p < active
add < active
active < top
if < proper
zero < proper
s < proper
prod < proper
fact < proper
p < proper
add < proper
proper < top
(8) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
fact(
X)) →
mark(
if(
zero(
X),
s(
0'),
prod(
X,
fact(
p(
X)))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
prod(
0',
X)) →
mark(
0')
active(
prod(
s(
X),
Y)) →
mark(
add(
Y,
prod(
X,
Y)))
active(
if(
true,
X,
Y)) →
mark(
X)
active(
if(
false,
X,
Y)) →
mark(
Y)
active(
zero(
0')) →
mark(
true)
active(
zero(
s(
X))) →
mark(
false)
active(
p(
s(
X))) →
mark(
X)
active(
fact(
X)) →
fact(
active(
X))
active(
if(
X1,
X2,
X3)) →
if(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
zero(
X)) →
zero(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
active(
X1),
X2)
active(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
X1,
active(
X2))
active(
p(
X)) →
p(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
fact(
mark(
X)) →
mark(
fact(
X))
if(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
if(
X1,
X2,
X3))
zero(
mark(
X)) →
mark(
zero(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
prod(
mark(
X1),
X2) →
mark(
prod(
X1,
X2))
prod(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
prod(
X1,
X2))
p(
mark(
X)) →
mark(
p(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
proper(
fact(
X)) →
fact(
proper(
X))
proper(
if(
X1,
X2,
X3)) →
if(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
zero(
X)) →
zero(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
p(
X)) →
p(
proper(
X))
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
true) →
ok(
true)
proper(
false) →
ok(
false)
fact(
ok(
X)) →
ok(
fact(
X))
if(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
if(
X1,
X2,
X3))
zero(
ok(
X)) →
ok(
zero(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
prod(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
prod(
X1,
X2))
p(
ok(
X)) →
ok(
p(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
fact :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
mark :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
if :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
zero :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
s :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
0' :: 0':mark:true:false:ok
prod :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
p :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
add :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
true :: 0':mark:true:false:ok
false :: 0':mark:true:false:ok
proper :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
ok :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
top :: 0':mark:true:false:ok → top
hole_0':mark:true:false:ok1_0 :: 0':mark:true:false:ok
hole_top2_0 :: top
gen_0':mark:true:false:ok3_0 :: Nat → 0':mark:true:false:ok
Generator Equations:
gen_0':mark:true:false:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':mark:true:false:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_0':mark:true:false:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
if, active, zero, s, prod, fact, p, add, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
if < active
zero < active
s < active
prod < active
fact < active
p < active
add < active
active < top
if < proper
zero < proper
s < proper
prod < proper
fact < proper
p < proper
add < proper
proper < top
(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol if.
(10) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
fact(
X)) →
mark(
if(
zero(
X),
s(
0'),
prod(
X,
fact(
p(
X)))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
prod(
0',
X)) →
mark(
0')
active(
prod(
s(
X),
Y)) →
mark(
add(
Y,
prod(
X,
Y)))
active(
if(
true,
X,
Y)) →
mark(
X)
active(
if(
false,
X,
Y)) →
mark(
Y)
active(
zero(
0')) →
mark(
true)
active(
zero(
s(
X))) →
mark(
false)
active(
p(
s(
X))) →
mark(
X)
active(
fact(
X)) →
fact(
active(
X))
active(
if(
X1,
X2,
X3)) →
if(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
zero(
X)) →
zero(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
active(
X1),
X2)
active(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
X1,
active(
X2))
active(
p(
X)) →
p(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
fact(
mark(
X)) →
mark(
fact(
X))
if(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
if(
X1,
X2,
X3))
zero(
mark(
X)) →
mark(
zero(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
prod(
mark(
X1),
X2) →
mark(
prod(
X1,
X2))
prod(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
prod(
X1,
X2))
p(
mark(
X)) →
mark(
p(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
proper(
fact(
X)) →
fact(
proper(
X))
proper(
if(
X1,
X2,
X3)) →
if(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
zero(
X)) →
zero(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
p(
X)) →
p(
proper(
X))
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
true) →
ok(
true)
proper(
false) →
ok(
false)
fact(
ok(
X)) →
ok(
fact(
X))
if(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
if(
X1,
X2,
X3))
zero(
ok(
X)) →
ok(
zero(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
prod(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
prod(
X1,
X2))
p(
ok(
X)) →
ok(
p(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
fact :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
mark :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
if :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
zero :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
s :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
0' :: 0':mark:true:false:ok
prod :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
p :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
add :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
true :: 0':mark:true:false:ok
false :: 0':mark:true:false:ok
proper :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
ok :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
top :: 0':mark:true:false:ok → top
hole_0':mark:true:false:ok1_0 :: 0':mark:true:false:ok
hole_top2_0 :: top
gen_0':mark:true:false:ok3_0 :: Nat → 0':mark:true:false:ok
Generator Equations:
gen_0':mark:true:false:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':mark:true:false:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_0':mark:true:false:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
zero, active, s, prod, fact, p, add, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
zero < active
s < active
prod < active
fact < active
p < active
add < active
active < top
zero < proper
s < proper
prod < proper
fact < proper
p < proper
add < proper
proper < top
(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol zero.
(12) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
fact(
X)) →
mark(
if(
zero(
X),
s(
0'),
prod(
X,
fact(
p(
X)))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
prod(
0',
X)) →
mark(
0')
active(
prod(
s(
X),
Y)) →
mark(
add(
Y,
prod(
X,
Y)))
active(
if(
true,
X,
Y)) →
mark(
X)
active(
if(
false,
X,
Y)) →
mark(
Y)
active(
zero(
0')) →
mark(
true)
active(
zero(
s(
X))) →
mark(
false)
active(
p(
s(
X))) →
mark(
X)
active(
fact(
X)) →
fact(
active(
X))
active(
if(
X1,
X2,
X3)) →
if(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
zero(
X)) →
zero(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
active(
X1),
X2)
active(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
X1,
active(
X2))
active(
p(
X)) →
p(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
fact(
mark(
X)) →
mark(
fact(
X))
if(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
if(
X1,
X2,
X3))
zero(
mark(
X)) →
mark(
zero(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
prod(
mark(
X1),
X2) →
mark(
prod(
X1,
X2))
prod(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
prod(
X1,
X2))
p(
mark(
X)) →
mark(
p(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
proper(
fact(
X)) →
fact(
proper(
X))
proper(
if(
X1,
X2,
X3)) →
if(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
zero(
X)) →
zero(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
p(
X)) →
p(
proper(
X))
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
true) →
ok(
true)
proper(
false) →
ok(
false)
fact(
ok(
X)) →
ok(
fact(
X))
if(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
if(
X1,
X2,
X3))
zero(
ok(
X)) →
ok(
zero(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
prod(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
prod(
X1,
X2))
p(
ok(
X)) →
ok(
p(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
fact :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
mark :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
if :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
zero :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
s :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
0' :: 0':mark:true:false:ok
prod :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
p :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
add :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
true :: 0':mark:true:false:ok
false :: 0':mark:true:false:ok
proper :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
ok :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
top :: 0':mark:true:false:ok → top
hole_0':mark:true:false:ok1_0 :: 0':mark:true:false:ok
hole_top2_0 :: top
gen_0':mark:true:false:ok3_0 :: Nat → 0':mark:true:false:ok
Generator Equations:
gen_0':mark:true:false:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':mark:true:false:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_0':mark:true:false:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
s, active, prod, fact, p, add, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
s < active
prod < active
fact < active
p < active
add < active
active < top
s < proper
prod < proper
fact < proper
p < proper
add < proper
proper < top
(13) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol s.
(14) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
fact(
X)) →
mark(
if(
zero(
X),
s(
0'),
prod(
X,
fact(
p(
X)))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
prod(
0',
X)) →
mark(
0')
active(
prod(
s(
X),
Y)) →
mark(
add(
Y,
prod(
X,
Y)))
active(
if(
true,
X,
Y)) →
mark(
X)
active(
if(
false,
X,
Y)) →
mark(
Y)
active(
zero(
0')) →
mark(
true)
active(
zero(
s(
X))) →
mark(
false)
active(
p(
s(
X))) →
mark(
X)
active(
fact(
X)) →
fact(
active(
X))
active(
if(
X1,
X2,
X3)) →
if(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
zero(
X)) →
zero(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
active(
X1),
X2)
active(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
X1,
active(
X2))
active(
p(
X)) →
p(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
fact(
mark(
X)) →
mark(
fact(
X))
if(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
if(
X1,
X2,
X3))
zero(
mark(
X)) →
mark(
zero(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
prod(
mark(
X1),
X2) →
mark(
prod(
X1,
X2))
prod(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
prod(
X1,
X2))
p(
mark(
X)) →
mark(
p(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
proper(
fact(
X)) →
fact(
proper(
X))
proper(
if(
X1,
X2,
X3)) →
if(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
zero(
X)) →
zero(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
p(
X)) →
p(
proper(
X))
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
true) →
ok(
true)
proper(
false) →
ok(
false)
fact(
ok(
X)) →
ok(
fact(
X))
if(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
if(
X1,
X2,
X3))
zero(
ok(
X)) →
ok(
zero(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
prod(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
prod(
X1,
X2))
p(
ok(
X)) →
ok(
p(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
fact :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
mark :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
if :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
zero :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
s :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
0' :: 0':mark:true:false:ok
prod :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
p :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
add :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
true :: 0':mark:true:false:ok
false :: 0':mark:true:false:ok
proper :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
ok :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
top :: 0':mark:true:false:ok → top
hole_0':mark:true:false:ok1_0 :: 0':mark:true:false:ok
hole_top2_0 :: top
gen_0':mark:true:false:ok3_0 :: Nat → 0':mark:true:false:ok
Generator Equations:
gen_0':mark:true:false:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':mark:true:false:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_0':mark:true:false:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
prod, active, fact, p, add, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
prod < active
fact < active
p < active
add < active
active < top
prod < proper
fact < proper
p < proper
add < proper
proper < top
(15) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol prod.
(16) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
fact(
X)) →
mark(
if(
zero(
X),
s(
0'),
prod(
X,
fact(
p(
X)))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
prod(
0',
X)) →
mark(
0')
active(
prod(
s(
X),
Y)) →
mark(
add(
Y,
prod(
X,
Y)))
active(
if(
true,
X,
Y)) →
mark(
X)
active(
if(
false,
X,
Y)) →
mark(
Y)
active(
zero(
0')) →
mark(
true)
active(
zero(
s(
X))) →
mark(
false)
active(
p(
s(
X))) →
mark(
X)
active(
fact(
X)) →
fact(
active(
X))
active(
if(
X1,
X2,
X3)) →
if(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
zero(
X)) →
zero(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
active(
X1),
X2)
active(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
X1,
active(
X2))
active(
p(
X)) →
p(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
fact(
mark(
X)) →
mark(
fact(
X))
if(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
if(
X1,
X2,
X3))
zero(
mark(
X)) →
mark(
zero(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
prod(
mark(
X1),
X2) →
mark(
prod(
X1,
X2))
prod(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
prod(
X1,
X2))
p(
mark(
X)) →
mark(
p(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
proper(
fact(
X)) →
fact(
proper(
X))
proper(
if(
X1,
X2,
X3)) →
if(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
zero(
X)) →
zero(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
p(
X)) →
p(
proper(
X))
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
true) →
ok(
true)
proper(
false) →
ok(
false)
fact(
ok(
X)) →
ok(
fact(
X))
if(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
if(
X1,
X2,
X3))
zero(
ok(
X)) →
ok(
zero(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
prod(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
prod(
X1,
X2))
p(
ok(
X)) →
ok(
p(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
fact :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
mark :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
if :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
zero :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
s :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
0' :: 0':mark:true:false:ok
prod :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
p :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
add :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
true :: 0':mark:true:false:ok
false :: 0':mark:true:false:ok
proper :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
ok :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
top :: 0':mark:true:false:ok → top
hole_0':mark:true:false:ok1_0 :: 0':mark:true:false:ok
hole_top2_0 :: top
gen_0':mark:true:false:ok3_0 :: Nat → 0':mark:true:false:ok
Generator Equations:
gen_0':mark:true:false:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':mark:true:false:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_0':mark:true:false:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
fact, active, p, add, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
fact < active
p < active
add < active
active < top
fact < proper
p < proper
add < proper
proper < top
(17) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol fact.
(18) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
fact(
X)) →
mark(
if(
zero(
X),
s(
0'),
prod(
X,
fact(
p(
X)))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
prod(
0',
X)) →
mark(
0')
active(
prod(
s(
X),
Y)) →
mark(
add(
Y,
prod(
X,
Y)))
active(
if(
true,
X,
Y)) →
mark(
X)
active(
if(
false,
X,
Y)) →
mark(
Y)
active(
zero(
0')) →
mark(
true)
active(
zero(
s(
X))) →
mark(
false)
active(
p(
s(
X))) →
mark(
X)
active(
fact(
X)) →
fact(
active(
X))
active(
if(
X1,
X2,
X3)) →
if(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
zero(
X)) →
zero(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
active(
X1),
X2)
active(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
X1,
active(
X2))
active(
p(
X)) →
p(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
fact(
mark(
X)) →
mark(
fact(
X))
if(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
if(
X1,
X2,
X3))
zero(
mark(
X)) →
mark(
zero(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
prod(
mark(
X1),
X2) →
mark(
prod(
X1,
X2))
prod(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
prod(
X1,
X2))
p(
mark(
X)) →
mark(
p(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
proper(
fact(
X)) →
fact(
proper(
X))
proper(
if(
X1,
X2,
X3)) →
if(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
zero(
X)) →
zero(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
p(
X)) →
p(
proper(
X))
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
true) →
ok(
true)
proper(
false) →
ok(
false)
fact(
ok(
X)) →
ok(
fact(
X))
if(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
if(
X1,
X2,
X3))
zero(
ok(
X)) →
ok(
zero(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
prod(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
prod(
X1,
X2))
p(
ok(
X)) →
ok(
p(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
fact :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
mark :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
if :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
zero :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
s :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
0' :: 0':mark:true:false:ok
prod :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
p :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
add :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
true :: 0':mark:true:false:ok
false :: 0':mark:true:false:ok
proper :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
ok :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
top :: 0':mark:true:false:ok → top
hole_0':mark:true:false:ok1_0 :: 0':mark:true:false:ok
hole_top2_0 :: top
gen_0':mark:true:false:ok3_0 :: Nat → 0':mark:true:false:ok
Generator Equations:
gen_0':mark:true:false:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':mark:true:false:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_0':mark:true:false:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
p, active, add, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
p < active
add < active
active < top
p < proper
add < proper
proper < top
(19) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol p.
(20) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
fact(
X)) →
mark(
if(
zero(
X),
s(
0'),
prod(
X,
fact(
p(
X)))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
prod(
0',
X)) →
mark(
0')
active(
prod(
s(
X),
Y)) →
mark(
add(
Y,
prod(
X,
Y)))
active(
if(
true,
X,
Y)) →
mark(
X)
active(
if(
false,
X,
Y)) →
mark(
Y)
active(
zero(
0')) →
mark(
true)
active(
zero(
s(
X))) →
mark(
false)
active(
p(
s(
X))) →
mark(
X)
active(
fact(
X)) →
fact(
active(
X))
active(
if(
X1,
X2,
X3)) →
if(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
zero(
X)) →
zero(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
active(
X1),
X2)
active(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
X1,
active(
X2))
active(
p(
X)) →
p(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
fact(
mark(
X)) →
mark(
fact(
X))
if(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
if(
X1,
X2,
X3))
zero(
mark(
X)) →
mark(
zero(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
prod(
mark(
X1),
X2) →
mark(
prod(
X1,
X2))
prod(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
prod(
X1,
X2))
p(
mark(
X)) →
mark(
p(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
proper(
fact(
X)) →
fact(
proper(
X))
proper(
if(
X1,
X2,
X3)) →
if(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
zero(
X)) →
zero(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
p(
X)) →
p(
proper(
X))
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
true) →
ok(
true)
proper(
false) →
ok(
false)
fact(
ok(
X)) →
ok(
fact(
X))
if(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
if(
X1,
X2,
X3))
zero(
ok(
X)) →
ok(
zero(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
prod(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
prod(
X1,
X2))
p(
ok(
X)) →
ok(
p(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
fact :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
mark :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
if :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
zero :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
s :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
0' :: 0':mark:true:false:ok
prod :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
p :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
add :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
true :: 0':mark:true:false:ok
false :: 0':mark:true:false:ok
proper :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
ok :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
top :: 0':mark:true:false:ok → top
hole_0':mark:true:false:ok1_0 :: 0':mark:true:false:ok
hole_top2_0 :: top
gen_0':mark:true:false:ok3_0 :: Nat → 0':mark:true:false:ok
Generator Equations:
gen_0':mark:true:false:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':mark:true:false:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_0':mark:true:false:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
add, active, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
add < active
active < top
add < proper
proper < top
(21) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol add.
(22) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
fact(
X)) →
mark(
if(
zero(
X),
s(
0'),
prod(
X,
fact(
p(
X)))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
prod(
0',
X)) →
mark(
0')
active(
prod(
s(
X),
Y)) →
mark(
add(
Y,
prod(
X,
Y)))
active(
if(
true,
X,
Y)) →
mark(
X)
active(
if(
false,
X,
Y)) →
mark(
Y)
active(
zero(
0')) →
mark(
true)
active(
zero(
s(
X))) →
mark(
false)
active(
p(
s(
X))) →
mark(
X)
active(
fact(
X)) →
fact(
active(
X))
active(
if(
X1,
X2,
X3)) →
if(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
zero(
X)) →
zero(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
active(
X1),
X2)
active(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
X1,
active(
X2))
active(
p(
X)) →
p(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
fact(
mark(
X)) →
mark(
fact(
X))
if(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
if(
X1,
X2,
X3))
zero(
mark(
X)) →
mark(
zero(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
prod(
mark(
X1),
X2) →
mark(
prod(
X1,
X2))
prod(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
prod(
X1,
X2))
p(
mark(
X)) →
mark(
p(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
proper(
fact(
X)) →
fact(
proper(
X))
proper(
if(
X1,
X2,
X3)) →
if(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
zero(
X)) →
zero(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
p(
X)) →
p(
proper(
X))
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
true) →
ok(
true)
proper(
false) →
ok(
false)
fact(
ok(
X)) →
ok(
fact(
X))
if(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
if(
X1,
X2,
X3))
zero(
ok(
X)) →
ok(
zero(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
prod(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
prod(
X1,
X2))
p(
ok(
X)) →
ok(
p(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
fact :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
mark :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
if :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
zero :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
s :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
0' :: 0':mark:true:false:ok
prod :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
p :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
add :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
true :: 0':mark:true:false:ok
false :: 0':mark:true:false:ok
proper :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
ok :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
top :: 0':mark:true:false:ok → top
hole_0':mark:true:false:ok1_0 :: 0':mark:true:false:ok
hole_top2_0 :: top
gen_0':mark:true:false:ok3_0 :: Nat → 0':mark:true:false:ok
Generator Equations:
gen_0':mark:true:false:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':mark:true:false:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_0':mark:true:false:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
active, proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
active < top
proper < top
(23) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol active.
(24) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
fact(
X)) →
mark(
if(
zero(
X),
s(
0'),
prod(
X,
fact(
p(
X)))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
prod(
0',
X)) →
mark(
0')
active(
prod(
s(
X),
Y)) →
mark(
add(
Y,
prod(
X,
Y)))
active(
if(
true,
X,
Y)) →
mark(
X)
active(
if(
false,
X,
Y)) →
mark(
Y)
active(
zero(
0')) →
mark(
true)
active(
zero(
s(
X))) →
mark(
false)
active(
p(
s(
X))) →
mark(
X)
active(
fact(
X)) →
fact(
active(
X))
active(
if(
X1,
X2,
X3)) →
if(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
zero(
X)) →
zero(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
active(
X1),
X2)
active(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
X1,
active(
X2))
active(
p(
X)) →
p(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
fact(
mark(
X)) →
mark(
fact(
X))
if(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
if(
X1,
X2,
X3))
zero(
mark(
X)) →
mark(
zero(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
prod(
mark(
X1),
X2) →
mark(
prod(
X1,
X2))
prod(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
prod(
X1,
X2))
p(
mark(
X)) →
mark(
p(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
proper(
fact(
X)) →
fact(
proper(
X))
proper(
if(
X1,
X2,
X3)) →
if(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
zero(
X)) →
zero(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
p(
X)) →
p(
proper(
X))
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
true) →
ok(
true)
proper(
false) →
ok(
false)
fact(
ok(
X)) →
ok(
fact(
X))
if(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
if(
X1,
X2,
X3))
zero(
ok(
X)) →
ok(
zero(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
prod(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
prod(
X1,
X2))
p(
ok(
X)) →
ok(
p(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
fact :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
mark :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
if :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
zero :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
s :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
0' :: 0':mark:true:false:ok
prod :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
p :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
add :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
true :: 0':mark:true:false:ok
false :: 0':mark:true:false:ok
proper :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
ok :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
top :: 0':mark:true:false:ok → top
hole_0':mark:true:false:ok1_0 :: 0':mark:true:false:ok
hole_top2_0 :: top
gen_0':mark:true:false:ok3_0 :: Nat → 0':mark:true:false:ok
Generator Equations:
gen_0':mark:true:false:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':mark:true:false:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_0':mark:true:false:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
proper, top
They will be analysed ascendingly in the following order:
proper < top
(25) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol proper.
(26) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
fact(
X)) →
mark(
if(
zero(
X),
s(
0'),
prod(
X,
fact(
p(
X)))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
prod(
0',
X)) →
mark(
0')
active(
prod(
s(
X),
Y)) →
mark(
add(
Y,
prod(
X,
Y)))
active(
if(
true,
X,
Y)) →
mark(
X)
active(
if(
false,
X,
Y)) →
mark(
Y)
active(
zero(
0')) →
mark(
true)
active(
zero(
s(
X))) →
mark(
false)
active(
p(
s(
X))) →
mark(
X)
active(
fact(
X)) →
fact(
active(
X))
active(
if(
X1,
X2,
X3)) →
if(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
zero(
X)) →
zero(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
active(
X1),
X2)
active(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
X1,
active(
X2))
active(
p(
X)) →
p(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
fact(
mark(
X)) →
mark(
fact(
X))
if(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
if(
X1,
X2,
X3))
zero(
mark(
X)) →
mark(
zero(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
prod(
mark(
X1),
X2) →
mark(
prod(
X1,
X2))
prod(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
prod(
X1,
X2))
p(
mark(
X)) →
mark(
p(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
proper(
fact(
X)) →
fact(
proper(
X))
proper(
if(
X1,
X2,
X3)) →
if(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
zero(
X)) →
zero(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
p(
X)) →
p(
proper(
X))
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
true) →
ok(
true)
proper(
false) →
ok(
false)
fact(
ok(
X)) →
ok(
fact(
X))
if(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
if(
X1,
X2,
X3))
zero(
ok(
X)) →
ok(
zero(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
prod(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
prod(
X1,
X2))
p(
ok(
X)) →
ok(
p(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
fact :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
mark :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
if :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
zero :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
s :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
0' :: 0':mark:true:false:ok
prod :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
p :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
add :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
true :: 0':mark:true:false:ok
false :: 0':mark:true:false:ok
proper :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
ok :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
top :: 0':mark:true:false:ok → top
hole_0':mark:true:false:ok1_0 :: 0':mark:true:false:ok
hole_top2_0 :: top
gen_0':mark:true:false:ok3_0 :: Nat → 0':mark:true:false:ok
Generator Equations:
gen_0':mark:true:false:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':mark:true:false:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_0':mark:true:false:ok3_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
top
(27) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol top.
(28) Obligation:
TRS:
Rules:
active(
fact(
X)) →
mark(
if(
zero(
X),
s(
0'),
prod(
X,
fact(
p(
X)))))
active(
add(
0',
X)) →
mark(
X)
active(
add(
s(
X),
Y)) →
mark(
s(
add(
X,
Y)))
active(
prod(
0',
X)) →
mark(
0')
active(
prod(
s(
X),
Y)) →
mark(
add(
Y,
prod(
X,
Y)))
active(
if(
true,
X,
Y)) →
mark(
X)
active(
if(
false,
X,
Y)) →
mark(
Y)
active(
zero(
0')) →
mark(
true)
active(
zero(
s(
X))) →
mark(
false)
active(
p(
s(
X))) →
mark(
X)
active(
fact(
X)) →
fact(
active(
X))
active(
if(
X1,
X2,
X3)) →
if(
active(
X1),
X2,
X3)
active(
zero(
X)) →
zero(
active(
X))
active(
s(
X)) →
s(
active(
X))
active(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
active(
X1),
X2)
active(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
X1,
active(
X2))
active(
p(
X)) →
p(
active(
X))
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
active(
X1),
X2)
active(
add(
X1,
X2)) →
add(
X1,
active(
X2))
fact(
mark(
X)) →
mark(
fact(
X))
if(
mark(
X1),
X2,
X3) →
mark(
if(
X1,
X2,
X3))
zero(
mark(
X)) →
mark(
zero(
X))
s(
mark(
X)) →
mark(
s(
X))
prod(
mark(
X1),
X2) →
mark(
prod(
X1,
X2))
prod(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
prod(
X1,
X2))
p(
mark(
X)) →
mark(
p(
X))
add(
mark(
X1),
X2) →
mark(
add(
X1,
X2))
add(
X1,
mark(
X2)) →
mark(
add(
X1,
X2))
proper(
fact(
X)) →
fact(
proper(
X))
proper(
if(
X1,
X2,
X3)) →
if(
proper(
X1),
proper(
X2),
proper(
X3))
proper(
zero(
X)) →
zero(
proper(
X))
proper(
s(
X)) →
s(
proper(
X))
proper(
0') →
ok(
0')
proper(
prod(
X1,
X2)) →
prod(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
p(
X)) →
p(
proper(
X))
proper(
add(
X1,
X2)) →
add(
proper(
X1),
proper(
X2))
proper(
true) →
ok(
true)
proper(
false) →
ok(
false)
fact(
ok(
X)) →
ok(
fact(
X))
if(
ok(
X1),
ok(
X2),
ok(
X3)) →
ok(
if(
X1,
X2,
X3))
zero(
ok(
X)) →
ok(
zero(
X))
s(
ok(
X)) →
ok(
s(
X))
prod(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
prod(
X1,
X2))
p(
ok(
X)) →
ok(
p(
X))
add(
ok(
X1),
ok(
X2)) →
ok(
add(
X1,
X2))
top(
mark(
X)) →
top(
proper(
X))
top(
ok(
X)) →
top(
active(
X))
Types:
active :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
fact :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
mark :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
if :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
zero :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
s :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
0' :: 0':mark:true:false:ok
prod :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
p :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
add :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
true :: 0':mark:true:false:ok
false :: 0':mark:true:false:ok
proper :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
ok :: 0':mark:true:false:ok → 0':mark:true:false:ok
top :: 0':mark:true:false:ok → top
hole_0':mark:true:false:ok1_0 :: 0':mark:true:false:ok
hole_top2_0 :: top
gen_0':mark:true:false:ok3_0 :: Nat → 0':mark:true:false:ok
Generator Equations:
gen_0':mark:true:false:ok3_0(0) ⇔ 0'
gen_0':mark:true:false:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_0':mark:true:false:ok3_0(x))
No more defined symbols left to analyse.